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User:Aadenboy/Unary-encoded bases

From Esolang
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<ais523> huh, is that string written in unary-coded decimal?
<aadenboy> yeah
<aadenboy> I think
<ais523> now I'm wondering what the best base for unary-coded base n is
https://logs.esolangs.org/libera-esolangs/2026-08-28.html#ldh

Given a base B, which base is the most efficient when each digit of all numbers are encoded in unary?

You can either do this with 0 as an empty string, e.g 105 is 1//11111, or bijectively, e.g 105 is 1111111111/11111. Depending on your implementation, delimiters may not be necessary, i.e bijectively encoding "234" as "11/111/1111" versus "AABBBAAAA".

Best bases

With delimiters
0—255 0—1000000
0-empty 3 4
Bijective 4 5
Without delimiters
0—255 0—1000000
0-empty 2 2
Bijective 3 3

With delimiters

0–255

0 as empty
Number 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
4 3 3 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
5 4 4 3 2 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
6 4 3 4 3 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
7 5 4 5 4 3 2 7 7 7 7 7 7 7 7 7
8 4 5 3 5 4 3 2 8 8 8 8 8 8 8 8
9 5 3 4 6 5 4 3 2 9 9 9 9 9 9 9
10 5 4 5 3 6 5 4 3 2 10 10 10 10 10 10
11 6 5 6 4 7 6 5 4 3 2 11 11 11 11 11
12 5 4 4 5 3 7 6 5 4 3 2 12 12 12 12
13 6 5 5 6 4 8 7 6 5 4 3 2 13 13 13
14 6 6 6 7 5 3 8 7 6 5 4 3 2 14 14
15 7 5 7 4 6 4 9 8 7 6 5 4 3 2 15
16 5 6 3 5 7 5 3 9 8 7 6 5 4 3 2
17 6 7 4 6 8 6 4 10 9 8 7 6 5 4 3
18 6 4 5 7 4 7 5 3 10 9 8 7 6 5 4
19 7 5 6 8 5 8 6 4 11 10 9 8 7 6 5
20 6 6 4 5 6 9 7 5 3 11 10 9 8 7 6
21 7 5 5 6 7 4 8 6 4 12 11 10 9 8 7
22 7 6 6 7 8 5 9 7 5 3 12 11 10 9 8
23 8 7 7 8 9 6 10 8 6 4 13 12 11 10 9
24 6 6 5 9 5 7 4 9 7 5 3 13 12 11 10
25 7 7 6 3 6 8 5 10 8 6 4 14 13 12 11
26 7 8 7 4 7 9 6 11 9 7 5 3 14 13 12
27 8 4 8 5 8 10 7 4 10 8 6 4 15 14 13
28 7 5 6 6 9 5 8 5 11 9 7 5 3 15 14
29 8 6 7 7 10 6 9 6 12 10 8 6 4 16 15
30 8 5 8 4 6 7 10 7 4 11 9 7 5 3 16
31 9 6 9 5 7 8 11 8 5 12 10 8 6 4 17
32 6 7 4 6 8 9 5 9 6 13 11 9 7 5 3
33 7 6 5 7 9 10 6 10 7 4 12 10 8 6 4
34 7 7 6 8 10 11 7 11 8 5 13 11 9 7 5
35 8 8 7 5 11 6 8 12 9 6 14 12 10 8 6
36 7 5 5 6 3 7 9 5 10 7 4 13 11 9 7
37 8 6 6 7 4 8 10 6 11 8 5 14 12 10 8
38 8 7 7 8 5 9 11 7 12 9 6 15 13 11 9
39 9 6 8 9 6 10 12 8 13 10 7 4 14 12 10
40 7 7 6 6 7 11 6 9 5 11 8 5 15 13 11
41 8 8 7 7 8 12 7 10 6 12 9 6 16 14 12
42 8 7 8 8 4 7 8 11 7 13 10 7 4 15 13
43 9 8 9 9 5 8 9 12 8 14 11 8 5 16 14
44 8 9 7 10 6 9 10 13 9 5 12 9 6 17 15
45 9 6 8 7 7 10 11 6 10 6 13 10 7 4 16
46 9 7 9 8 8 11 12 7 11 7 14 11 8 5 17
47 10 8 10 9 9 12 13 8 12 8 15 12 9 6 18
48 7 7 5 10 5 13 7 9 13 9 5 13 10 7 4
49 8 8 6 11 6 3 8 10 14 10 6 14 11 8 5
50 8 9 7 4 7 4 9 11 6 11 7 15 12 9 6
51 9 8 8 5 8 5 10 12 7 12 8 16 13 10 7
52 8 9 6 6 9 6 11 13 8 13 9 5 14 11 8
53 9 10 7 7 10 7 12 14 9 14 10 6 15 12 9
54 9 5 8 8 6 8 13 7 10 15 11 7 16 13 10
55 10 6 9 5 7 9 14 8 11 6 12 8 17 14 11
56 8 7 7 6 8 4 8 9 12 7 13 9 5 15 12
57 9 6 8 7 9 5 9 10 13 8 14 10 6 16 13
58 9 7 9 8 10 6 10 11 14 9 15 11 7 17 14
59 10 8 10 9 11 7 11 12 15 10 16 12 8 18 15
60 9 7 8 6 7 8 12 13 7 11 6 13 9 5 16
61 10 8 9 7 8 9 13 14 8 12 7 14 10 6 17
62 10 9 10 8 9 10 14 15 9 13 8 15 11 7 18
63 11 6 11 9 10 5 15 8 10 14 9 16 12 8 19
64 7 7 4 10 11 6 3 9 11 15 10 17 13 9 5
65 8 8 5 7 12 7 4 10 12 16 11 6 14 10 6
66 8 7 6 8 8 8 5 11 13 7 12 7 15 11 7
67 9 8 7 9 9 9 6 12 14 8 13 8 16 12 8
68 8 9 5 10 10 10 7 13 15 9 14 9 17 13 9
69 9 8 6 11 11 11 8 14 16 10 15 10 18 14 10
70 9 9 7 8 12 6 9 15 8 11 16 11 6 15 11
71 10 10 8 9 13 7 10 16 9 12 17 12 7 16 12
72 8 7 6 10 4 8 4 9 10 13 7 13 8 17 13
73 9 8 7 11 5 9 5 10 11 14 8 14 9 18 14
74 9 9 8 12 6 10 6 11 12 15 9 15 10 19 15
75 10 8 9 5 7 11 7 12 13 16 10 16 11 6 16
76 9 9 7 6 8 12 8 13 14 17 11 17 12 7 17
77 10 10 8 7 9 7 9 14 15 8 12 18 13 8 18
78 10 9 9 8 5 8 10 15 16 9 13 7 14 9 19
79 11 10 10 9 6 9 11 16 17 10 14 8 15 10 20
80 8 11 5 6 7 10 5 17 9 11 15 9 16 11 6
81 9 5 6 7 8 11 6 3 10 12 16 10 17 12 7
82 9 6 7 8 9 12 7 4 11 13 17 11 18 13 8
83 10 7 8 9 10 13 8 5 12 14 18 12 19 14 9
84 9 6 6 10 6 8 9 6 13 15 8 13 7 15 10
85 10 7 7 7 7 9 10 7 14 16 9 14 8 16 11
86 10 8 8 8 8 10 11 8 15 17 10 15 9 17 12
87 11 7 9 9 9 11 12 9 16 18 11 16 10 18 13
88 9 8 7 10 10 12 6 10 17 9 12 17 11 19 14
89 10 9 8 11 11 13 7 11 18 10 13 18 12 20 15
90 10 6 9 8 7 14 8 4 10 11 14 19 13 7 16
91 11 7 10 9 8 9 9 5 11 12 15 8 14 8 17
92 10 8 8 10 9 10 10 6 12 13 16 9 15 9 18
93 11 7 9 11 10 11 11 7 13 14 17 10 16 10 19
94 11 8 10 12 11 12 12 8 14 15 18 11 17 11 20
95 12 9 11 9 12 13 13 9 15 16 19 12 18 12 21
96 8 8 6 10 8 14 7 10 16 17 9 13 19 13 7
97 9 9 7 11 9 15 8 11 17 18 10 14 20 14 8
98 9 10 8 12 10 4 9 12 18 19 11 15 8 15 9
99 10 7 9 13 11 5 10 5 19 10 12 16 9 16 10
100 9 8 7 6 12 6 11 6 3 11 13 17 10 17 11
101 10 9 8 7 13 7 12 7 4 12 14 18 11 18 12
102 10 8 9 8 9 8 13 8 5 13 15 19 12 19 13
103 11 9 10 9 10 9 14 9 6 14 16 20 13 20 14
104 9 10 8 10 11 10 8 10 7 15 17 9 14 21 15
105 10 9 9 7 12 5 9 11 8 16 18 10 15 8 16
106 10 10 10 8 13 6 10 12 9 17 19 11 16 9 17
107 11 11 11 9 14 7 11 13 10 18 20 12 17 10 18
108 10 6 9 10 5 8 12 6 11 19 10 13 18 11 19
109 11 7 10 11 6 9 13 7 12 20 11 14 19 12 20
110 11 8 11 8 7 10 14 8 4 11 12 15 20 13 21
111 12 7 12 9 8 11 15 9 5 12 13 16 21 14 22
112 9 8 7 10 9 6 9 10 6 13 14 17 9 15 8
113 10 9 8 11 10 7 10 11 7 14 15 18 10 16 9
114 10 8 9 12 6 8 11 12 8 15 16 19 11 17 10
115 11 9 10 9 7 9 12 13 9 16 17 20 12 18 11
116 10 10 8 10 8 10 13 14 10 17 18 21 13 19 12
117 11 7 9 11 9 11 14 7 11 18 19 10 14 20 13
118 11 8 10 12 10 12 15 8 12 19 20 11 15 21 14
119 12 9 11 13 11 7 16 9 13 20 21 12 16 22 15
120 10 8 9 10 7 8 10 10 5 21 11 13 17 9 16
121 11 9 10 11 8 9 11 11 6 3 12 14 18 10 17
122 11 10 11 12 9 10 12 12 7 4 13 15 19 11 18
123 12 9 12 13 10 11 13 13 8 5 14 16 20 12 19
124 11 10 10 14 11 12 14 14 9 6 15 17 21 13 20
125 12 11 11 4 12 13 15 15 10 7 16 18 22 14 21
126 12 8 12 5 8 8 16 8 11 8 17 19 10 15 22
127 13 9 13 6 9 9 17 9 12 9 18 20 11 16 23
128 8 10 5 7 10 10 4 10 13 10 19 21 12 17 9
129 9 9 6 8 11 11 5 11 14 11 20 22 13 18 10
130 9 10 7 5 12 12 6 12 6 12 21 11 14 19 11
131 10 11 8 6 13 13 7 13 7 13 22 12 15 20 12
132 9 10 6 7 9 14 8 14 8 4 12 13 16 21 13
133 10 11 7 8 10 9 9 15 9 5 13 14 17 22 14
134 10 12 8 9 11 10 10 16 10 6 14 15 18 23 15
135 11 7 9 6 12 11 11 9 11 7 15 16 19 10 16
136 9 8 7 7 13 12 5 10 12 8 16 17 20 11 17
137 10 9 8 8 14 13 6 11 13 9 17 18 21 12 18
138 10 8 9 9 10 14 7 12 14 10 18 19 22 13 19
139 11 9 10 10 11 15 8 13 15 11 19 20 23 14 20
140 10 10 8 7 12 10 9 14 7 12 20 21 11 15 21
141 11 9 9 8 13 11 10 15 8 13 21 22 12 16 22
142 11 10 10 9 14 12 11 16 9 14 22 23 13 17 23
143 12 11 11 10 15 13 12 17 10 5 23 12 14 18 24
144 9 8 6 11 6 14 6 10 11 6 3 13 15 19 10
145 10 9 7 8 7 15 7 11 12 7 4 14 16 20 11
146 10 10 8 9 8 16 8 12 13 8 5 15 17 21 12
147 11 9 9 10 9 5 9 13 14 9 6 16 18 22 13
148 10 10 7 11 10 6 10 14 15 10 7 17 19 23 14
149 11 11 8 12 11 7 11 15 16 11 8 18 20 24 15
150 11 10 9 5 7 8 12 16 8 12 9 19 21 11 16
151 12 11 10 6 8 9 13 17 9 13 10 20 22 12 17
152 10 12 8 7 9 10 7 18 10 14 11 21 23 13 18
153 11 9 9 8 10 11 8 11 11 15 12 22 24 14 19
154 11 10 10 9 11 6 9 12 12 6 13 23 12 15 20
155 12 11 11 6 12 7 10 13 13 7 14 24 13 16 21
156 11 10 9 7 8 8 11 14 14 8 4 13 14 17 22
157 12 11 10 8 9 9 12 15 15 9 5 14 15 18 23
158 12 12 11 9 10 10 13 16 16 10 6 15 16 19 24
159 13 11 12 10 11 11 14 17 17 11 7 16 17 20 25
160 9 12 7 7 12 12 8 18 9 12 8 17 18 21 11
161 10 13 8 8 13 7 9 19 10 13 9 18 19 22 12
162 10 6 9 9 9 8 10 4 11 14 10 19 20 23 13
163 11 7 10 10 10 9 11 5 12 15 11 20 21 24 14
164 10 8 8 11 11 10 12 6 13 16 12 21 22 25 15
165 11 7 9 8 12 11 13 7 14 7 13 22 23 12 16
166 11 8 10 9 13 12 14 8 15 8 14 23 24 13 17
167 12 9 11 10 14 13 15 9 16 9 15 24 25 14 18
168 10 8 9 11 10 8 9 10 17 10 5 25 13 15 19
169 11 9 10 12 11 9 10 11 18 11 6 3 14 16 20
170 11 10 11 9 12 10 11 12 10 12 7 4 15 17 21
171 12 7 12 10 13 11 12 5 11 13 8 5 16 18 22
172 11 8 10 11 14 12 13 6 12 14 9 6 17 19 23
173 12 9 11 12 15 13 14 7 13 15 10 7 18 20 24
174 12 8 12 13 11 14 15 8 14 16 11 8 19 21 25
175 13 9 13 6 12 9 16 9 15 17 12 9 20 22 26
176 10 10 8 7 13 10 10 10 16 8 13 10 21 23 12
177 11 9 9 8 14 11 11 11 17 9 14 11 22 24 13
178 11 10 10 9 15 12 12 12 18 10 15 12 23 25 14
179 12 11 11 10 16 13 13 13 19 11 16 13 24 26 15
180 11 8 9 7 7 14 14 6 11 12 6 14 25 13 16
181 12 9 10 8 8 15 15 7 12 13 7 15 26 14 17
182 12 10 11 9 9 10 16 8 13 14 8 4 14 15 18
183 13 9 12 10 10 11 17 9 14 15 9 5 15 16 19
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185 12 11 11 8 12 13 12 11 16 17 11 7 17 18 21
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189 13 7 12 12 11 11 16 7 20 11 15 11 21 22 25
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250 13 9 13 5 13 12 14 12 9 12 21 12 18 14 26
251 14 10 14 6 14 13 15 13 10 13 22 13 19 15 27
252 13 7 12 7 5 8 16 6 11 14 12 14 7 16 28
253 14 8 13 8 6 9 17 7 12 5 13 15 8 17 29
254 14 9 14 9 7 10 18 8 13 6 14 16 9 18 30
255 15 8 15 6 8 11 19 9 14 7 15 17 10 5 31
Total 2562 2171 2220 2261 2360 2502 2616 2694 2784 3010 3120 3198 3380 3680 4080
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Bijective
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229 17 11 10 16 11 15 14 15 15 21 11 15 10 20 20
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231 16 13 12 10 13 17 16 17 8 23 13 17 12 22 22
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237 18 15 12 12 14 17 15 15 14 19 19 11 18 28 28
238 19 12 13 13 15 18 16 16 15 20 20 12 19 29 29
239 16 13 14 14 16 13 17 17 16 21 21 13 7 30 30
240 17 14 15 15 17 14 18 18 17 22 22 14 8 31 31
241 17 13 13 12 13 15 12 19 9 23 12 15 9 5 17
242 18 14 14 13 14 16 13 20 10 24 13 16 10 6 18
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247 17 13 13 14 14 15 18 17 15 19 18 21 15 11 23
248 18 14 14 15 15 16 19 18 16 20 19 10 16 12 24
249 18 15 12 16 16 17 13 19 17 21 20 11 17 13 25
250 19 14 13 17 17 18 14 20 18 22 21 12 18 14 26
251 18 15 14 14 18 19 15 21 10 23 22 13 19 15 27
252 19 16 15 15 19 20 16 22 11 24 23 14 20 16 28
253 19 15 13 16 15 9 17 7 12 25 13 15 8 17 29
254 20 16 14 17 16 10 18 8 13 6 14 16 9 18 30
255 15 17 15 18 17 11 19 9 14 7 15 17 10 19 31
Total 3606 2940 2796 2815 2952 2949 3012 3147 3195 3467 3480 3579 3793 4125 4304
Average 14.14 11.53 10.96 11.04 11.58 11.56 11.81 12.34 12.53 13.60 13.65 14.04 14.87 16.18 16.88

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Number 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
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Average 27.84 23.54 23.48 24.07 25.24 26.63 27.94 29.60 31.89 32.28 33.69 34.97 36.92 38.12 40.96
Bijective
Number 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Total 43787934 33980088 31763644 31401420 31791482 33055696 33521712 34873067 36654390 37120955 38367012 39567405 41306932 42713585 44872240
Average 43.79 33.98 31.76 31.40 31.79 33.06 33.52 34.87 36.65 37.12 38.37 39.57 41.31 42.71 44.87

Without delimiters

0–255

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129 2 5 3 5 9 9 3 9 12 9 19 21 12 17 9
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141 4 5 6 5 11 9 8 13 6 11 20 21 11 15 21
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159 6 7 9 7 9 9 12 15 15 9 5 15 16 19 24
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165 4 3 6 5 10 9 11 5 12 5 11 21 22 11 15
166 4 4 7 6 11 10 12 6 13 6 12 22 23 12 16
167 5 5 8 7 12 11 13 7 14 7 13 23 24 13 17
168 3 4 6 8 8 6 7 8 15 8 3 24 12 14 18
169 4 5 7 9 9 7 8 9 16 9 4 1 13 15 19
170 4 6 8 6 10 8 9 10 8 10 5 2 14 16 20
171 5 3 9 7 11 9 10 3 9 11 6 3 15 17 21
172 4 4 7 8 12 10 11 4 10 12 7 4 16 18 22
173 5 5 8 9 13 11 12 5 11 13 8 5 17 19 23
174 5 4 9 10 9 12 13 6 12 14 9 6 18 20 24
175 6 5 10 3 10 7 14 7 13 15 10 7 19 21 25
176 3 6 5 4 11 8 8 8 14 6 11 8 20 22 11
177 4 5 6 5 12 9 9 9 15 7 12 9 21 23 12
178 4 6 7 6 13 10 10 10 16 8 13 10 22 24 13
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180 4 4 6 4 5 12 12 4 9 10 4 12 24 12 15
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253 7 3 10 5 3 7 15 5 10 3 11 13 6 15 28
254 7 4 11 6 4 8 16 6 11 4 12 14 7 16 29
255 8 3 12 3 5 9 17 7 12 5 13 15 8 3 30
Total 1024 1254 1536 1648 1850 2046 2176 2272 2382 2630 2764 2868 3078 3408 3840
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Bijective
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Number 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
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Bijective
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Average 26.84 23.18 23.23 24.01 25.19 27.18 27.86 29.55 31.78 32.32 33.66 35.00 36.93 38.59 40.95
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