Crazy J/Cyclic tag system

Crazy J examples

Cyclic tag system

All we need to make Cyclic tag system machine out of Sequential tag system machine is an adapter that does this:

   data <LF>          data <LF>
   rule1 <LF>         rule1 <LF>
   rule2 <LF>         rule2 <LF>
   ...          ==>   ...
   ruleN <LF>         ruleN <LF>
   <EOF>              rule1 <LF>
                      rule2 <LF>
                      ...
                      <all rules infinitely repeated>

Here's a lambda calculus source code of the adapter:

   repeat = λ buffer g . buffer (Y λ self h t g2 . V h (push_back h t self I g2))
                                (λ g2 . V EOF (g2 g))
                                I
   
   accumulate = Y (λ self buffer input g . input (λ ch tail . eq ch EOF (λ g2 . repeat buffer g2)
                                                                        (λ g2 . self (push_back ch buffer) tail (g2 g)))) nil
   
   adapter = Y (λ self g input . input (λ ch tail . V ch (eq ch LF (λ g2 . accumulate tail g2)
                                                                   (λ g2 . self (g g2) tail)))) I

In compiled form:

```````j``j`j`j```j``j`jiii``jiii``jiiji`````j`j`j`j``jiii``jiji``j`jii``````j```jj``j```jiiii`j``jiiiij`````j`j`j``jii```jiii`j`ji````````jj`j``jiiij```j``ji`jii`j`j``jii```j``jii```j``jii``````j``ji``j`j``jiii`j``jii`jij`````j``jiii`j`j``jii``````j`j````jjii`j`j``jiii`j```jjiijj```j``jii``ji``jii`j`j``jii```j``ji``j``jiii``jii``jij```j```j`j``ji``j``jiiiiii``j`jj``jij`````j`j`j``jii```jiii`j`ji```jii``jii`````````j```jii`j`j`j`j``jii``jijiii`jj``````jj`j``jiiij```j``ji`jii`j`j``jii````j`j`j``jii```jiii`j`ji`ji`````j``ji``j`j``jiii`j``jii`jij`````j`j`j``jii```jiii`j`ji````````jj`j``jiiij```j``ji`jii`j`j``jii`````j```jj``j```jiiii`j``jiiiij````j`j``jii`j``jii``ji`j``jii```````jj`j``jiiij```j``ji`jii`j`j``jii`````j`j````jjii`j`j``jiii`j```jjiijj````j`j`j``jii```jiii`j`ji`ji``````j```jii`j`j`j`j``jii``jijiii`jj`````jj`j``jiiij```j``ji`jii`j`j``jii``````j```jj``j```jiiii`j``jiiiij````j``ji``j`j``jiii`j``jii`jij```j``jii`j``jii`j``jii```jii``jii`````j`j````jjii`j`j``jiii`j```jjiijj````j`j`j``jii```jiii`j`ji```j``j```jii`j`j``jii``jiiij`````````j```jii`j`j`j`j``jii``jijiii`jj````j```jj``j```jiiii`j``jiiiij````````j```jii`j`j`j`j``jii``jijiii`jj`````j`j````jjii`j`j``jiii`j```jjiijj````j`j`j``jii```jiii`j`ji```````j``j`j`j```j``j`jiii``jiii``jiiji`````j`j`j`j``jiii``jiji``j`jii```j``jii```j``jii````j``jii`j``jii`j``jii```j``jii```j`j`j``jii```jiii`j`ji``````j```jj``j```jiiii`j``jiiiij``````j``j`j`j```j``j`jiii``jiii``jiiji`````j`j`j`j``jiii``jiji``j`jii`````j`j`j``jii```jiii`j`ji```````jj`j``jiiij```j``ji`jii`j`j``jii`````j```jj``j```jiiii`j``jiiiij```````j```jii`j`j`j`j``jii``jijiii`jj````j```jj``j```jiiii`j``jiiiij```````j```jii`j`j`j`j``jii``jijiii`jj```j``jiii`j`j``jii``````j`j````jjii`j`j``jiii`j```jjiijj`````j`j`j``jii```jiii`j`ji````j``jii`j``jii`j``jii````j`j``jii``ji``jii``ji`j`j``jii````j`j`j``jiii```j``j```jiiij`ji`jj```j`j``jii``ji``jii``ji`j`j``jii``````j```jj``j```jiiii`j``jiiiij``j``jiii```j``jiii`j`j``jii````j``jii`j`j``jii`j``jii```````j```jii`j`j`j`j``jii``jijiii`jj```j`j``jii``ji``jii``ji`j`j``jii````j``jii`j`j``jii`j``jii````j```jj``j```jiiii`j``jiiiij````````jj`j``jiiij```j``ji`jii`j`j``jii`````j`j````jjii`j`j``jiii`j```jjiijj``````j``jii`j`j``jii`j``jii`````jj`j``jiiij```j``ji`jii`j`j``jii`````````j```jii`j`j`j`j``jii``jijiii`jj```j`j`j``jii```jiii`j`ji`````````j```jii`j`j`j`j``jii``jijiii`jj````j``jii`j`j``jii`j``jii`````j`j`j``jii```jiii`j`ji```jii``jii`````````j```jii`j`j`j`j``jii``jijiii`jj``````jj`j``jiiij```j``ji`jii`j`j``jii````j`j`j``jii```jiii`j`ji`ji`````j``ji``j`j``jiii`j``jii`jij`````j`j`j``jii```jiii`j`ji````````jj`j``jiiij```j``ji`jii`j`j``jii`````j```jj``j```jiiii`j``jiiiij````j`j``jii`j``jii``ji`j``jii```````jj`j``jiiij```j``ji`jii`j`j``jii`````j`j````jjii`j`j``jiii`j```jjiijj````j`j`j``jii```jiii`j`ji`ji``````j```jii`j`j`j`j``jii``jijiii`jj`````jj`j``jiiij```j``ji`jii`j`j``jii``````j```jj``j```jiiii`j``jiiiij````j``ji``j`j``jiii`j``jii`jij```j``jii`j``jii`j``jii```jii``jii``````j``jii`j`j``jii`j``jii```ji``````j```jii`j`j`j`j``jii``jijiii`jj``````j``j`j`j```j``j`jiii``jiii``jiiji`````j`j`j`j``jiii``jiji``j`jii`````j`j`j``jii```jiii`j`ji````j`j`j``jiii```j``j```jiiij`ji`jj```j``jii```j`j`j``jii```jiii`j`ji``````j```jj``j```jiiii`j``jiiiij``````j``j`j`j```j``j`jiii``jiii``jiiji`````j`j`j`j``jiii``jiji``j`jii`````j`j`j``jii```jiii`j`ji```````jj`j``jiiij```j``ji`jii`j`j``jii`````j```jj``j```jiiii`j``jiiiij```````j```jii`j`j`j`j``jii``jijiii`jj````j```jj``j```jiiii`j``jiiiij```````j```jii`j`j`j`j``jii``jijiii`jj```j``jiii`j`j``jii``````j`j````jjii`j`j``jiii`j```jjiijj`````j`j`j``jii```jiii`j`ji````j``jii`j``jii`j``jii````j`j``jii``ji``jii``ji`j`j``jii````j`j`j``jiii```j``j```jiiij`ji`jj```j`j``jii``ji``jii``ji`j`j``jii``````j```jj``j```jiiii`j``jiiiij``j``jiii```j``jiii`j`j``jii````j``jii`j`j``jii`j``jii```````j```jii`j`j`j`j``jii``jijiii`jj```j`j``jii``ji``jii``ji`j`j``jii``````j`j````jjii`j`j``jiii`j```jjiijj````````jj`j``jiiij```j``ji`jii`j`j``jii```j``jii``ji``jii`j`j``jii`````j`j`j``jiii```j``j```jiiij`ji`jj````j```jj``j```jiiii`j``jiiiiji```j``j```jii`j`j``jii``jiiiji``ji````j``j```jii`j`j``jii``jiiij```````j`j````jjii`j`j``jiii`j```jjiijj```j``jii``ji``jii`j`j``jii````j```jii```j``ji```ji``j``jiiii```jjii``j`jijii``jii```````j`j````jjii`j`j``jiii`j```jjiijj```j``jii``ji``jii`j`j``jii````j```jii```j``ji```ji``j``jiiii```jjii``j`jijii``jii```j``jii``ji``jii`j`j``jii`````j`j````jjii`j`j``jiii`j```jjiijj```j``jii`````jj`j``jiiij```j``ji`jii`j`j``jii````````jj`j``jiiij```j``ji`jii`j`j``jii````j```jj``j```jiiii`j``jiiiij````j``jii`j`j``jii`j``jii````j```jj``j```jiiii`j``jiiiij```````j```jii`j`j`j`j``jii``jijiii`jj```````j```jii`j`j`j`j``jii``jijiii`jj`ji```j`j`j``jii```jiii`j`ji````j```jj``j```jiiii`j``jiiiij``jii``````j```jii`j`j`j`j``jii``jijiii`jji

And the whole Cyclic tag system:

   cts = λ input . sts (adapter input) = Q adapter sts

In compiled form:

`````j`j`j``jii```jiii`j`ji```````j``j`j`j```j``j`jiii``jiii``jiiji`````j`j`j`j``jiii``jiji``j`jii``````j```jj``j```jiiii`j``jiiiij`````j`j`j``jii```jiii`j`ji````````jj`j``jiiij```j``ji`jii`j`j``jii```j``jii```j``jii``````j``ji``j`j``jiii`j``jii`jij`````j``jiii`j`j``jii``````j`j````jjii`j`j``jiii`j```jjiijj```j``jii``ji``jii`j`j``jii```j``ji``j``jiii``jii``jij```j```j`j``ji``j``jiiiiii``j`jj``jij`````j`j`j``jii```jiii`j`ji```jii``jii`````````j```jii`j`j`j`j``jii``jijiii`jj``````jj`j``jiiij```j``ji`jii`j`j``jii````j`j`j``jii```jiii`j`ji`ji`````j``ji``j`j``jiii`j``jii`jij`````j`j`j``jii```jiii`j`ji````````jj`j``jiiij```j``ji`jii`j`j``jii`````j```jj``j```jiiii`j``jiiiij````j`j``jii`j``jii``ji`j``jii```````jj`j``jiiij```j``ji`jii`j`j``jii`````j`j````jjii`j`j``jiii`j```jjiijj````j`j`j``jii```jiii`j`ji`ji``````j```jii`j`j`j`j``jii``jijiii`jj`````jj`j``jiiij```j``ji`jii`j`j``jii``````j```jj``j```jiiii`j``jiiiij````j``ji``j`j``jiii`j``jii`jij```j``jii`j``jii`j``jii```jii``jii`````j`j````jjii`j`j``jiii`j```jjiijj````j`j`j``jii```jiii`j`ji```j``j```jii`j`j``jii``jiiij`````````j```jii`j`j`j`j``jii``jijiii`jj````j```jj``j```jiiii`j``jiiiij````````j```jii`j`j`j`j``jii``jijiii`jj`````j`j````jjii`j`j``jiii`j```jjiijj````j`j`j``jii```jiii`j`ji```````j``j`j`j```j``j`jiii``jiii``jiiji`````j`j`j`j``jiii``jiji``j`jii```j``jii```j``jii````j``jii`j``jii`j``jii```j``jii```j`j`j``jii```jiii`j`ji``````j```jj``j```jiiii`j``jiiiij``````j``j`j`j```j``j`jiii``jiii``jiiji`````j`j`j`j``jiii``jiji``j`jii`````j`j`j``jii```jiii`j`ji```````jj`j``jiiij```j``ji`jii`j`j``jii`````j```jj``j```jiiii`j``jiiiij```````j```jii`j`j`j`j``jii``jijiii`jj````j```jj``j```jiiii`j``jiiiij```````j```jii`j`j`j`j``jii``jijiii`jj```j``jiii`j`j``jii``````j`j````jjii`j`j``jiii`j```jjiijj`````j`j`j``jii```jiii`j`ji````j``jii`j``jii`j``jii````j`j``jii``ji``jii``ji`j`j``jii````j`j`j``jiii```j``j```jiiij`ji`jj```j`j``jii``ji``jii``ji`j`j``jii``````j```jj``j```jiiii`j``jiiiij``j``jiii```j``jiii`j`j``jii````j``jii`j`j``jii`j``jii```````j```jii`j`j`j`j``jii``jijiii`jj```j`j``jii``ji``jii``ji`j`j``jii````j``jii`j`j``jii`j``jii````j```jj``j```jiiii`j``jiiiij````````jj`j``jiiij```j``ji`jii`j`j``jii`````j`j````jjii`j`j``jiii`j```jjiijj``````j``jii`j`j``jii`j``jii`````jj`j``jiiij```j``ji`jii`j`j``jii`````````j```jii`j`j`j`j``jii``jijiii`jj```j`j`j``jii```jiii`j`ji`````````j```jii`j`j`j`j``jii``jijiii`jj````j``jii`j`j``jii`j``jii`````j`j`j``jii```jiii`j`ji```jii``jii`````````j```jii`j`j`j`j``jii``jijiii`jj``````jj`j``jiiij```j``ji`jii`j`j``jii````j`j`j``jii```jiii`j`ji`ji`````j``ji``j`j``jiii`j``jii`jij`````j`j`j``jii```jiii`j`ji````````jj`j``jiiij```j``ji`jii`j`j``jii`````j```jj``j```jiiii`j``jiiiij````j`j``jii`j``jii``ji`j``jii```````jj`j``jiiij```j``ji`jii`j`j``jii`````j`j````jjii`j`j``jiii`j```jjiijj````j`j`j``jii```jiii`j`ji`ji``````j```jii`j`j`j`j``jii``jijiii`jj`````jj`j``jiiij```j``ji`jii`j`j``jii``````j```jj``j```jiiii`j``jiiiij````j``ji``j`j``jiii`j``jii`jij```j``jii`j``jii`j``jii```jii``jii``````j``jii`j`j``jii`j``jii```ji``````j```jii`j`j`j`j``jii``jijiii`jj``````j``j`j`j```j``j`jiii``jiii``jiiji`````j`j`j`j``jiii``jiji``j`jii`````j`j`j``jii```jiii`j`ji````j`j`j``jiii```j``j```jiiij`ji`jj```j``jii```j`j`j``jii```jiii`j`ji``````j```jj``j```jiiii`j``jiiiij``````j``j`j`j```j``j`jiii``jiii``jiiji`````j`j`j`j``jiii``jiji``j`jii`````j`j`j``jii```jiii`j`ji```````jj`j``jiiij```j``ji`jii`j`j``jii`````j```jj``j```jiiii`j``jiiiij```````j```jii`j`j`j`j``jii``jijiii`jj````j```jj``j```jiiii`j``jiiiij```````j```jii`j`j`j`j``jii``jijiii`jj```j``jiii`j`j``jii``````j`j````jjii`j`j``jiii`j```jjiijj`````j`j`j``jii```jiii`j`ji````j``jii`j``jii`j``jii````j`j``jii``ji``jii``ji`j`j``jii````j`j`j``jiii```j``j```jiiij`ji`jj```j`j``jii``ji``jii``ji`j`j``jii``````j```jj``j```jiiii`j``jiiiij``j``jiii```j``jiii`j`j``jii````j``jii`j`j``jii`j``jii```````j```jii`j`j`j`j``jii``jijiii`jj```j`j``jii``ji``jii``ji`j`j``jii``````j`j````jjii`j`j``jiii`j```jjiijj````````jj`j``jiiij```j``ji`jii`j`j``jii```j``jii``ji``jii`j`j``jii`````j`j`j``jiii```j``j```jiiij`ji`jj````j```jj``j```jiiii`j``jiiiiji```j``j```jii`j`j``jii``jiiiji``ji````j``j```jii`j`j``jii``jiiij```````j`j````jjii`j`j``jiii`j```jjiijj```j``jii``ji``jii`j`j``jii````j```jii```j``ji```ji``j``jiiii```jjii``j`jijii``jii```````j`j````jjii`j`j``jiii`j```jjiijj```j``jii``ji``jii`j`j``jii````j```jii```j``ji```ji``j``jiiii```jjii``j`jijii``jii```j``jii``ji``jii`j`j``jii`````j`j````jjii`j`j``jiii`j```jjiijj```j``jii`````jj`j``jiiij```j``ji`jii`j`j``jii````````jj`j``jiiij```j``ji`jii`j`j``jii````j```jj``j```jiiii`j``jiiiij````j``jii`j`j``jii`j``jii````j```jj``j```jiiii`j``jiiiij```````j```jii`j`j`j`j``jii``jijiii`jj```````j```jii`j`j`j`j``jii``jijiii`jj`ji```j`j`j``jii```jiii`j`ji````j```jj``j```jiiii`j``jiiiij``jii``````j```jii`j`j`j`j``jii``jijiii`jji`````j``jii`j``jii`j``jii``````j``j`j`j```j``j`jiii``jiii``jiiji`````j`j`j`j``jiii``jiji``j`jii```j``jii`````j`j`j``jii```jiii`j`ji```jii``jii`````````j```jii`j`j`j`j``jii``jijiii`jj``````jj`j``jiiij```j``j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Conclusion: Crazy J is Turing-complete because it can emulate Cyclic tag system.